已知H，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足HP•PM=0，PM=-32MQ．当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（

题文

已知H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足HP•PM=0，PM=-32MQ．
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点T（-1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x₀，0），使得△ABE是等边三角形，求x₀的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）设点M的坐标为（x，y），
由PM=-32MQ．得P(0，-y2)，Q(x3，0)，
由HP•PM=0，得(3，-y2)•(x，3y2)=0，
所以y²=4x由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0，
所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．
（2）设直线l：y=k（x+1），其中k≠0代入y²=4x，得k²x²+2（k²-2）x+k²=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程①的两个实数根，由韦达定理得x1+x2=-2(k2-2)k2，x1x2=1
所以，线段AB的中点坐标为(2-k2k2，2k)，线段AB的垂直平分线方程为y-2k=-1k(x-2-k2k2)，
令y=0，x0=2k2+1，所以，点E的坐标为(2k2+1，0)．
因为△ABE为正三角形，所以，点E(2k2+1，0)到直线AB的距离等于32|AB|，而|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=41-k2k2•1+k2．
所以，231-k2k2=21+k2|k|解得k=±32，所以x0=113．

解析

PM

考点

据考高分专家说，试题“已知H（-3，0），点P在y轴上，点Q在.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。