点A、B分别是以双曲线x216-y220=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，PA•PF=0

题文

点A、B分别是以双曲线x216-y220=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，PA•PF=0
（I）求椭圆C的方程；
（II）求点P的坐标；
（III）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（I）已知双曲线实半轴a₁=4，虚半轴b₁=25，半焦距c₁=16+20=6，
∴椭圆的长半轴a₂=c₁=6，椭圆的半焦距c₂=a₁=4，椭圆的短半轴b₂=62-42=20，
∴所求的椭圆方程为x236+y220=1
（II）由已知A（-6，0），F（4，0），
设点P的坐标为（x，y），则AP=(x+6，y)，FP=(x-4，y)，由已知得x236+y220=1(x+6)(x-4)+y2=0
则2x²+9x-18=0，解之得x=32或x=-6，
由于y＞0，所以只能取x=32，于是y=523，所以点P的坐标为(32，523)（9分）
（Ⅲ）直线AP：x-3y+6=0，设点M是（m，0），则点M到直线AP的距离是|m+6|2，于是|m+6|2=|m-6|，
又∵点M在椭圆的长轴上，即-6≤m≤6∴m=2
∴当m=2时，椭圆上的点到M（2，0）的距离d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-5x29=49(x-92)2+15
又-6≤x≤6∴当x=92时，d取最小值15

解析

5

考点

据考高分专家说，试题“点A、B分别是以双曲线x216-y220.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。