已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆求圆C的方程；设圆M的方程为（x-4-7

题文

已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y²=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）
（I）求圆C的方程；
（II）设圆M的方程为（x-4-7cosθ）²+（y-7cosθ）²=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求CE，CF的最大值和最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）解法一：设A，B两点坐标分别为(y212，y1)，(y222，y2)，
由题设知(y212)2+y22=(y122)2+y22=(y212-y222)2+(y1-y2)2
解得y₁²=y₂²=12，
所以A(6，23)，B(6，-23)或A(6，-23)，B(6，23)．
设圆心C的坐标为（r，0），则r=23×6=4，
所以圆C的方程为（x-4）²+y²=16．
解法二：设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），由题设知x₁²+y₁²=x₂²+y₂²
又因为y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，可得x₁²+2x₁=x₂²+2x₂．即（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）=0
由x₁＞0，x₂＞0，可知x₁=x₂，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上
设C点的坐标为（r，0），则A点坐标为(34r，32r)，于是有(32r)2=2×32r，
解得r=4，
所以圆C的方程为（x-4）²+y²=16．
（II）设∠ECF=2α，则CE•CF=|CE|•|CF|•cos2α=16cos2α=32cos2α-16．
在Rt△PCE中，cosα=x|PC|=4|PC|，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|-1=7-1=6，
所以12≤cosα≤23，由此可得-8≤CE•CF≤-169．
则CE•CF的最大值为-169，最小值为-8．

解析

y212

考点

据考高分专家说，试题“已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。