在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC的中点，P，Q是正方体内部及面上的两个动点，则AM•PQ的最大值是A．12B．1C．32D．54

题文

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是BC的中点，P，Q是正方体内部及面上的两个动点，则AM•PQ的最大值是（ ）A．12B．1C．32D．54 题型：未知 难度：其他题型

答案

以A为原点，分别以AB、AD、AA₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则 A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），C₁（1，1，1），D₁（0，1，1）．
由题意可得，M（1，12，0），设P（x₁，y₁，z₁），Q（x₂，y₂，z₂），
则有 0≤x₁≤1，0≤y₁≤1，0≤z₁≤1，0≤x₂≤1，0≤y₂≤1，0≤z₂≤1．
∴向量AM=（1，12，0），向量 PQ=（ x₂-x₁，y₂-y₁，z₂-z₁），
可得 AM•PQ=（x₂-x₁）+y2-y12．
当Q在BCCB₁平面，P在ADDA₁平面时，x₂-x₁=1-0=1，为最大值，
当Q在DCCD₁平面，P在ABBA₁平面时，y₂-y₁=1-0=1，为最大值，
故当P在AA₁上，Q在CC₁上，AM•PQ 有最大值，此时，AM•PQ=1+12=32，
故选C．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1.....”主要考查你对 [向量数量积的运算 ]考点的理解。