已知过点A的直线l，斜率为k，与圆C：2+2=1相交于M、N两个不同点．求实数k取值范围；若O为坐标原点，且OM•ON

题文

已知过点A（0，1）的直线l，斜率为k，与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N两个不同点．
（1）求实数k取值范围；
（2）若O为坐标原点，且OM•ON=12，求k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，设直线l方程为y=kx+1，
与圆C的方程消去y，得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0…（*）
∵直线l与圆C相交于M、N两个不同点．
∴△=16（1+k）²-28（1+k²）＞0，解此不等式得4-73＜k＜4+73…（6分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
根据（1）的（*），得x₁+x₂=4+4k1+k2，x₁x₂=71+k2
∵OM•ON=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
∴OM•ON=12即（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=4k(k+1)1+k2+8=12
解之得k=1，符合4-73＜k＜4+73，得k的值为1．   …（12分）

解析

4-73

考点

据考高分专家说，试题“已知过点A（0，1）的直线l，斜率为k，.....”主要考查你对 [用坐标表示向量的数量积 ]考点的理解。