平面内动点M，a=，b=且a•b=0求点M的轨迹E的方程；设直线：l：y=kx+m分别交

题文

平面内动点M（x，y），a=（x-2，2y），b=（x+2，2y）且a•b=0
（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分别交x、y轴于点A、B，交曲线E于点C、D，且CA=BD
①求k的值；
②若点N（2，1），求△NCD面积取得最大时直线l的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设动点M（x，y）．
∵a•b=0，∴(x-2)(x+2)+(2y)2=0，
化为x24+y22=1，即为点M的轨迹E的方程．
（Ⅱ）①在l：y=kx+m中分别令x=0，y=0可得B（0，m），A(-mk，0)．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由y=kx+mx2+2y2=4得到（1+2k²）x²+4mkx+2m²-4=0，
△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-4）=32k²-8m²+16，
x1+x2=-4mk1+2k2，x1x2=2m2-41+2k2．
∵CA=BD，∴-mk-x1=x2，∴-4mk1+2k2=-mk，
又m≠0，化为4k²=1+2k²，k2=12，
∵k＞0，∴k=22．
②|CD|=1+k2|x1-x2|=1+12(x1+x2)2-4x1x2=322m2-4(m2-2)=3(4-m2)．
点N到CD的距离d=|2k-1+m|1+k2=63|m|．
∴S△NCD=12|CD|•d=12•3(4-m2)•63|m|=224-m2|m|=22(4-m2)m2≤22(4-m2+m22)=2．
当且仅当4-m²=m²时等号成立，即m²=2，解得m=±2．，此时△＞0，
所以直线的方程为l：y=22x±2．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“平面内动点M（x，y），a=（x-2，2.....”主要考查你对 [用坐标表示向量的数量积 ]考点的理解。