设平面内的向量OA=(1，7)，OB=(5，1)，OM=(2，1)，点P是直线OM上的一个动点，求当PA•PB取最小值时，OP的坐标及∠APB的余弦值．

题文

设平面内的向量OA=(1，7)，OB=(5，1)，OM=(2，1)，点P是直线OM上的一个动点，求当PA•PB取最小值时，OP的坐标及∠APB的余弦值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意，可设OP=（x，y），∵点P在直线OM上，
∴OP与OM共线，而OM=(2，1)，
∴x-2y=0，即x=2y，故OP=（2y，y），
又PA=OA-OP=（1-2y，7-y），PB=OB-OP=（5-2y，1-y），
所以PA•PB=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5y²-20y+12，
当y=--202×5=2时，PA•PB=5y²-20y+12取最小值-8，
此时OP=（4，2），PA=（-3，5），PB=（1，-1），
∴cos∠APB=PA•PB|PA||PB|=-8342=-41717

解析

OP

考点

据考高分专家说，试题“设平面内的向量OA=(1，7)，OB=(.....”主要考查你对 [用坐标表示向量的数量积 ]考点的理解。