已知F1，F2两点，曲线C上的动点P满足|PF1|+|PF2|=32|F1F2|．求曲线C的方程；若直线l经过点M，

题文

已知F₁（-2，0），F₂（2，0）两点，曲线C上的动点P满足|PF1|+|PF2| =32|F1F2|．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l经过点M（0，3），交曲线C于A，B两点，且MA=12MB，求直线l的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知可得|PF1|+|PF2| =32|F1F2| =6＞|F₁F₂|=4，
故曲线C是以F₁，F₂为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为x29+y25=1．
（Ⅱ）方法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由条件可知A为MB的中点，
则有x129+y125=1， (1)x229+y225=1，(2)2x1=x2，   (3)2y1=y2+3． (4)
将（3）、（4）代入（2）得4x129+(2y1-3)25=1，整理为4x129+4y125-125y1+45=0．
将（1）代入上式得y₁=2，再代入椭圆方程解得x1=±35，
故所求的直线方程为y=±53x+3．
方法二：依题意，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+3．
由y=kx+3x29+y25=1得（5+9k²）x²+54kx+36=0．令△＞0，解得k2＞49．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-54k5+9k2，①x1x2=365+9k2．②
因为MA=12MB，所以A为MB的中点，从而x₂=2x₁．
将x₂=2x₁代入①、②，得x1=-18k5+9k2，x12=185+9k2，
消去x₁得(-18k5+9k2)2=185+9k2，
解得k2=59，k=±53．
所以直线l的方程为y=±53x+3．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知F1（-2，0），F2（2，0）两点.....”主要考查你对 [向量数乘运算及几何意义 ]考点的理解。