在以O为原点的直角坐标系中，点A为△OAB的直角顶点．已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零．求向量AB的坐标；求圆x2-6x+

题文

在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为△OAB的直角顶点．已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零．
（1）求向量AB的坐标；
（2）求圆x²-6x+y²+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；
（3）是否存在实数a，使抛物线y=ax²-1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设AB={u，v}，
则由|AB|=2|OA|，AB•OA=0
即u2+v2=1004u-3v=0
得u=6v=8，或u=-6v=-8．
∵OB=OA+AB={u+4，v-3}，
∴v-3＞0，
得v=8，
∴AB={6，8}；
（2）由OB={10，5}，得B（10，5），
于是直线OB方程：y=12x．
由条件可知圆的标准方程为：（x-3）²+y（y+1）²=10，
得圆心（3，-1），半径为10．
设圆心（3，-1）关于直线OB的对称点为（x，y）
则x+32-2•y-12=0y+1x-3=-2，
得x=1y=3，
∴所求圆的方程为（x-1）²+（y-3）²=10；
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为抛物线上关于直线OB对称两点，
则x1+x22-2y1+y22=0y1-y2x1-x2=-2，
得x1+x2=-2ax1x2=5-2a2a2
即x₁，x₂为方程x2+2ax+5-2a2a2=0的两个相异实根，
于是由△=4a2-4•5-2a2a2＞0，
得a＞32．
∴当a＞32时，抛物线y=ax²-1上总有关于直线OB对称的两点．

解析

AB

考点

据考高分专家说，试题“在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-.....”主要考查你对 [向量的加、减法运算及几何意义 ]考点的理解。