在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，-3)和F2(0，3)为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x

题文

在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，-3)和F2(0，3)为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OM=OA+OB．求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程；
（Ⅱ）|OM|的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）椭圆方程可写为：y2a2+x2b2=1式中a＞b＞0，且a2-b2=33a=32得a²=4，b²=1，
所以曲线C的方程为：x²+y24=1（x＞0，y＞0）．y=21-x2（0＜x＜1）y'=-2x1-x2
设P（x₀，y₀），因P在C上，有0＜x₀＜1，y₀=21-x20，y'|_x=x0=-4x0y0，得切线AB的方程为：
y=-4x0y0（x-x₀）+y₀．
设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=1x0，y=4y0．
由OM=OA+OB得M的坐标为（x，y），由x₀，y₀满足C的方程，得点M的轨迹方程为：
1x2+4y2=1（x＞1，y＞2）
（Ⅱ）|OM|²=x²+y²，y²=41-1x2=4+4x2-1，
∴|OM|²=x²-1+4x2-1+5≥4+5=9．
且当x²-1=4x2-1，即x=3＞1时，上式取等号．
故|OM|的最小值为3．

解析

y2a2

考点

据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(.....”主要考查你对 [向量的加、减法运算及几何意义 ]考点的理解。