已知函数f=3-2log2x，g=log2x．求函数M(x)=f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|2的最大值；如果对ff（

题文

已知函数f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）求函数M(x)=f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|2的最大值；
（2）如果对f（x²）f（x）＞kg（x）中的任意x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）-g（x）=3（1-log₂x），
当x＞2时，f（x）＜g（x）；当0＜x≤2时，f（x）≥g（x），
∴M（x）=3-2log2x，x＞2log2x，0＜x≤2
当0＜x≤2时，M（x）的最大值为1；当x＞2时，M（x）＜1．
综上：当x=2时，M（x）取到最大值为1．
（2）由f（x²）f（x）＞kg（x）得：（3-4log₂x）（3-log₂x）＞k•log₂x，
令t=log₂x，∵x∈[1，4]，∴t∈[0，2]，
∴（3-4t）（3-t）＞kt对一切t∈[0，2]恒成立．
①当t=0时，k∈R；
②当t∈（0，2]时，k＜(3-4t)(3-t)t恒成立，即k＜4t+9t-15，
∵4t+9t≥12，当且仅当4t=9t，即t=32时取等号．
∴4t+9t-15的最小值为-3，∴k＜-3．
综上k的取值范围是k＜-3．

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

3-2log2x，x＞2log2x，0＜x≤2