已知函数f(x)=m-x2x．若y=log13[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调减函数，求实数m的取值范围；设g=f+ln

题文

已知函数f(x)=m-x2x（m∈R）．
（1）若y=log13[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调减函数，求实数m的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）+lnx，当m≥-2时，求g（x）在[12，2]上的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为函数y=log13[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调减函数，则根据复合函数的单调性可得f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，其导数在[1，+∞）上恒小于等于0，且满足f（x）＜8在[1，+∞）上恒成立，所以f′(x)=-x2-mx2≤0恒成立，即x2+mx2≥0在[1，+∞）上恒成立，解得m≥-1…（3分）
要使f（x）＜8在[1，+∞）上恒成立，只需要[f（x）]_max＜8，又f（x）在[1，+∞）上单调减函数，
∴f（1）＜8，解得m＜9，
∴-1≤m＜9…（6分）
（2）g(x)=m-x2x+lnx，g′(x)=-x2-x+mx2=-(x-12)2+m-14x2…（7分）
当m-14≥0，即m≥14时，g'（x）≤0，
∴g（x）在[12，2]上单调递减，
∴g(x)max=g(12)=2m-12-ln2…（9分）
当-2≤m＜14时，由g'（x）=0得x1=1-1-4m2，x2=1+1-4m2，
显然-1≤x1＜12，12＜x2≤2，
∴x1∉[12，2]，x2∈[12，2]，又g′(x)=-(x-x1)(x-x2)x2
当12≤x≤x2时，g'（x）≥0，g（x）单调递增；
当x₂＜x≤2时，g'（x）＜0，g（x）单调递减                        …（12分）
∴g(x)max=g(x2)=2m1+1-4m-1+1-4m2+ln1+1-4m2=-1-4m+ln1+1-4m2…（14分）
综上所述，（1）当m≥14时，g(x)max=2m-12-ln2；
（2）当-2≤m＜14时，g(x)max=-1-4m+ln1+1-4m2…（16分）

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

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