如图，是函数y=(12)x和y=3x2图象的一部分，其中x=x1，x2时，两函数值相等．给出如下两个命题：①当x＜x1时，(12)

题文

如图，是函数y=(12)x和y=3x²图象的一部分，其中x=x₁，x₂（-1＜x₁＜0＜x₂）时，两函数值相等．
（1）给出如下两个命题：①当x＜x₁时，(12)x＜3x2；②当x＞x₂时，(12)x＜3x2，试判定命题①②的真假并说明理由；
（2）求证：x₂∈（0，1）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）命题①是假命题，可以举反例：取x=-10，则x＜x₁，但是(12)-10=1024，3×（-10）²=300，(12)x＜3x2不成立；
命题②是真命题，∵函数y=(12)x在[x₂，+∞）上是减函数，函数y=3x²在[x₂，+∞）上是增函数，
∴当x＞x₂时，(12)x＜(12)x2=3x22＜3x2；
（2）构造函数f(x)=3x2-(12)x，则f（0）=-1＜0，f(1)=52＞0，
∴f（x）在区间（0，1）内有零点，又∵函数f(x)=3x2-(12)x在区间（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）在区间（0，1）内的零点唯一，即x₂，
∴x₂∈（0，1）；

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“如图，是函数y=(12)x和y=3x2图.....”主要考查你对 [四种命题及其相互关系 ]考点的理解。 四种命题及其相互关系

1、四种命题：

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，
四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若则；
（4）逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：

一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；

3、四种命题的相互关系：

注意：

1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”