a,b,c为实数，且a=b+c+1.证明：两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.

题文

a,b,c为实数，且a=b+c+1.证明：两个一元二次方程x²+x+b=0,x²+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根. 题型：未知 难度：其他题型

答案

假设两个方程都没有两个不等的实数根，则
Δ₁=1-4b≤0,Δ₂=a²-4c≤0,∴Δ₁+Δ₂=1-4b+a²-4c≤0.
∵a=b+c+1,∴b+c=a-1.∴1-4(a-1)+a²≤0,
即a²-4a+5≤0.但是a²-4a+5=(a-2)²+1＞0,故矛盾.
所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.

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解析

证明 假设两个方程都没有两个不等的实数根，则
Δ₁=1-4b≤0,Δ₂=a²-4c≤0,∴Δ₁+Δ₂=1-4b+a²-4c≤0.
∵a=b+c+1,∴b+c=a-1.∴1-4(a-1)+a²≤0,
即a²-4a+5≤0.但是a²-4a+5=(a-2)²+1＞0,故矛盾.
所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.

考点

据考高分专家说，试题“ a,b,c为实数，且a=b+c+1.证.....”主要考查你对 [四种命题及其相互关系 ]考点的理解。 四种命题及其相互关系

1、四种命题：

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，
四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若则；
（4）逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：

一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；

3、四种命题的相互关系：

注意：

1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”