若x、y、z均为实数，且a=x2－2y+，b=y2－2z+，c=z2－2x+，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由.

题文

若x、y、z均为实数，且a=x²－2y+，b=y²－2z+，c=z²－2x+，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

是

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解析

分析：“a、b、c中是否至少有一个大于零”包括多种情况，正面解决很复杂，可考虑反面入手，利用反证法证明，但如何导出矛盾颇有技巧.
假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0.
而a+b+c=x²－2y++y²－2z++z²－2x+=（x－1）²+（y－1）²+（z－1）²+π－3，
∵π－3＞0，且无论x、y、z为何实数，
（x－1）²+（y－1）²+（z－1）²≥0，
∴a+b+c＞0.这与a+b+c≤0矛盾.因此，a、b、c中至少有一个大于0.

考点

据考高分专家说，试题“若x、y、z均为实数，且a=x2－2y+.....”主要考查你对 [四种命题及其相互关系 ]考点的理解。 四种命题及其相互关系

1、四种命题：

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否定，
四种命题的形式是：
（1）原命题：若p则q；
（2）逆命题：若q则p；
（3）否命题：若则；
（4）逆否命题：若则。

2、四种命题的真假关系：

一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的；

3、四种命题的相互关系：

注意：

1、区别“否命题”与“命题的否定”，若原命题是“若p则q”，则这个命题的否定是“若p则非q”，而它的否命题是“若非p则非q”。

2、互为逆否命题同真假，即“等价”