已知函数f(x)=loga(ax-1)(a＞0且a≠1)，(1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的单调性；(3)x为何值时，函数值大于1。

题文

已知函数f(x)=log_a(a^x-1)(a＞0且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)x为何值时，函数值大于1。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(1)f(x)=log_a(a^x-1)有意义，应满足a^x-1＞0，即a^x＞1，
当a＞1时，x＞0；
当0＜a＜1时，x＜0；
因此，当a＞1时，函数f(x)的定义域为{x|x＞0}；
当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为{x|x＜0}．
(2)当a＞1时，y=a^x-1为增函数，因此y=log_a(a^x-1)为增函数；
当0＜a＜1时，y=a^x-1为减函数，因此y=log_a(a^x-1)为增函数；
综上所述，y=log_a(a^x-1)为增函数；
(3)当a＞1时，f(x)＞1，即a^x-1＞a，
∴a^x＞a+1，∴x＞log_a(a+1)；
当0＜a＜1时，f(x)＞1，即0＜a^x-1＜a，
∴1＜a^x＜a+1，∴log_a(a+1)＜x＜0。

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=loga(.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。