已知函数f=log4 若f=1，求f的单调区间； 是否存在实数a，使f的最小值为0？若存在，求出a

题文

已知函数f（x）=log₄（ax²+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵f（x）=log₄（ax²+2x+3）且f（1）=1，
∴log₄（a●1²+2×1+3）=1

a+5=4

a=﹣1
可得函数f（x）=log₄（﹣x²+2x+3）
∵真数为﹣x²+2x+3＞0

﹣1＜x＜3
∴函数定义域为（﹣1，3）
令t=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4 可得：
当x∈（﹣1，1）时，t为关于x的增函数；
当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．
∵底数为4＞1
∴函数f（x）=log₄（﹣x²+2x+3）的单调增区间为（﹣1，1），单调减区间为（1，3）
（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，由于底数为4＞1，
可得真数t=ax²+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，
即a为正数，且当x=﹣

=﹣

时，t值为1．
所以







a=

所以a=

，使f（x）的最小值为0．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log4（ax2.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。