已知函数f=log2+log2+log2．当p=7时，求函数f的定义域与值域；求函数f的定义域与值域．

题文

已知函数f（x）=log₂

+log₂（x﹣1）+log₂（p﹣x）．
（1）当p=7时，求函数f（x）的定义域与值域；
（2）求函数f（x）的定义域与值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）由题意，可得

，∴1＜x＜7
又∵函数f（x）=log₂

+log₂（x﹣1）+log₂（7﹣x）
=log₂（x+1）（7﹣x）=log₂[﹣（x﹣3）2+16]．
令g（x）=﹣（x﹣3）²+16，
由于函数的定义域为{x|1＜x＜7}，则g（7）＜g（x）≤g（3），即0＜g（x）≤16，
所以函数f （x）的值域为（﹣∞，4]
（2）由题意，可得

，∴x＞1且x＜p
∵函数的定义域不能为空集，故p＞1，函数的定义域为（1，p）．
函数f（x）=log₂

+log₂（x﹣1）+log₂（p﹣x）
=log₂（x+1）（p﹣x）=log₂[﹣x2+（p﹣1）x+p]．
令t=﹣x²+（p﹣1）x+p=

=g（x）
①当

，即1＜p＜3时，t在（1，p）上单调减，
g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p﹣2，
∴f（x）＜1+log₂（p﹣1），函数f（x）的值域为（﹣∞，log2（p﹣1））；
②当

，即p≥3时，g（p）＜t＜g（

），即0＜t≤

，
∴f（x）≤2log₂（p+1）﹣2，函数f（x）的值域为（﹣∞，2log₂（p+1）﹣2）．
综上：当1＜p＜3时，函数f（x）的值域为（﹣∞，log₂（p﹣1））；
当p≥3时，函数f（x）的值域为（﹣∞，2log₂（p+1）﹣2）．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log2+log.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。