已知f(x)=log122x+b2x-b(b＜0)．求f的定义域；判断f的奇偶性，并说明理由；指出f在区间上的

题文

已知f(x)=log122x+b2x-b(b＜0)．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）指出f（x）在区间（-b，+∞）上的单调性，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由2x+b2x-b＞0，b＜0，得到x＜b2或x＞-b2
则所求函数定义域为(-∞，b2)∪(-b2，+∞)．
（2）∵f（-x）=log12，-2x+b-2x-b=log122x-b2x+b=-log122x+b2x-b=-f（x）
∴f（x）是奇函数．
（3）令g（x）=2x+b2x-b．
设-b＜x₁＜x₂，则g（x₁）-g（x₂）=4b(x2-x1)(2x1-b)(2x2-b)（10分）
∵b＜0∴-b2＜-b，∴x2＞x1＞-b2，则有x₂-x₁＞0，2x₁-b＞0，2x₂-b＞0
∴4b(x2-x1)(2x1-b)(2x2-b)＜0，即g（x₁）＜g（x₂），而f（x）=log12g（x）且0＜12＜1
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（-b，+∞）上是减函数．

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解析

2x+b2x-b

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=log122x+b2x-b.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。