甲、乙、丙三人参加浙江卫视的“我爱记歌词”节目，三人独立闯关，互不影响．其中甲过关而乙不过关的概率是14，乙过关而丙不过关的概率是112，甲、丙均过关的概率为2

题文

甲、乙、丙三人参加浙江卫视的“我爱记歌词”节目，三人独立闯关，互不影响．其中甲过关而乙不过关的概率是14，乙过关而丙不过关的概率是112，甲、丙均过关的概率为29．记ξ为节目完毕后过关人数和未过关人数之差的绝对值．
（1）求甲、乙、丙三人各自过关的概率；
（2）理科：求ξ的分布列和数学期望；
     文科：求ξ取最小值时的概率；
（3）理科：设“函数f(x)=log2[ξx2-(ξ-1)x+14]的值域是R”为事件D，试求事件D的概率．
     文科：设“不等式x²-ξx+1＜0对一切x∈[1，2]均成立”为事件D，试求事件D的概率． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设甲、乙、丙三人各自过关分别为事件A、B、C
由题设条件有P(A•B)=14P(B•C)=112P(A•C)=29即P(A)•(1-P(B))=14     ①P(B)•(1-P(C))=112    ②P(A)•P(C)=29.                ③
由①、③得P(B)=1-98P(C)代入②得  27[P（C）]²-51P（C）+22=0．
解得P(C)=23或119（舍去）．
将P(C)=23，分别代入 ③、②可得P(A)=13，P(B)=14．
即甲、乙、丙三人各自过关的概率分别是13，14，23．…（6分）
（2）【理科】三人过关的人数可能取值为0，1，2，3．相应地，三人未过关的人数可能取
值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．…（7分）
P（ξ=3）=P（A•B•C）+P（.A•.B•.C）=P（A）P（B）P（C）+P(.A)P(.B)P(.C)=29
ξ13P7929P（ξ=1）=1-29=79…（8分）
所以ξ的分布列为：
Eξ=1×79+3×29=139（人）…（10分）
【文科】三人过关的人数可能取值为0，1，2，3．相应地，三人未过关的人数可能取
值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．
因为P（ξ=3）=P（A•B•C）+P（.A•.B•.C），
=P（A）P（B）P（C）+P(.A)P(.B)P(.C)）=29，
所以ξ取最小值1时，P（ξ=1）=1-29=79．…（10分）
（3）【理科】欲使函数f(x)=log2[ξx2-(ξ-1)x+14]的值域是R，且ξ≠0，
只需ξ＞0且△=(ξ-1)2-4×ξ×14=ξ2-3ξ+1≥0即可．
解得ξ≤3-52（舍）或ξ≥3+52，那么P(D)=P(ξ≥3+52)=P(ξ=3)=29，
所以事件D的概率为29．（也可以直接将ξ分别取1，3时代入△≥0即可）．…（14分）
【文科】由不等式x²-ξx+1＜0（x∈[1，2]），可得ξ＞x+1x，
设g(x)=x+1x，x∈[1，2]，g（x）在x∈[1，2]上单调递增，
由题意，只需ξ＞g（x）_max=g（2）=2.5即可．
所以P(D)=P(ξ＞2.5)=P(ξ=3)=29．…（14分）

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解析

P(A•B)=14P(B•C)=112P(A•C)=29

考点

据考高分专家说，试题“甲、乙、丙三人参加浙江卫视的“我爱记歌词.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。