已知函数y=f=loga．求f的定义域、值域；证明f在定义域上是减函数．

题文

已知函数y=f（x）=log_a（1-a^x）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域、值域；
（2）证明f（x）在定义域上是减函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由1-a^x＞0，得a^x＜1．（1分）
当a＞1时，x＜0；（2分）
当0＜a＜1时，x＞0．（3分）
所以f（x）的定义域是当0＜a＜1时，x∈（0，+∞）；当a＞1时，x∈（-∞，0）．（4分）
又当a＞1时，x＜0，⇒1＞1-a^x＞0，⇒log_a（1-a^x）＜0，即函数的值域为（-∞，0）．
当时，x＞0，⇒1＞1-a^x＞0，⇒log_a（1-a^x）＞0，即函数的值域为（0，+∞）．
所以f（x）的值域是，当0＜a＜1时，y∈（0，+∞）；当a＞1时，y∈（-∞，0）．
（2）当0＜a＜1时，任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，（5分）
则 ax1＞ax2，所以 1-ax1＜1-ax2．（6分）
因为0＜a＜1，所以 loga(1-ax1)＞loga(1-ax2)，即f（x₁）＞f（x₂）．（8分）
故当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）上是减函数．（9分）
同理，当a＞1时，任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，（10分）
可得当a＞1时，f（x）在（-∞，0）上也是减函数．（14分）．

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=f（x）=loga（1-ax.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。