设函数f=loga，f的反函数f-1的图象与直线y=x的两个交点的横坐标分别为0、1．求函数f的解析式

题文

设函数f（x）=log_a（x+b）（a＞0且a≠1），f（x）的反函数f^-1（x）的图象与直线y=x的两个交点的横坐标分别为0、1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当点（x，y）是y=f（x）图象上的点时，点(x3，y2)是函数y=g（x）上的点，求函数y=g（x）的解析式：
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当g(kx3)-f（x）≥0时，求x的取值范围（其中k是常数，且k≥32）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知f^-1（x）的图象与直线y=x的两个交点为（0，0），（1，1）
∴函数f（x）=log_a（x+b）过（0，0），（1，1）两点
∴logab=0loga(1+b)=1即b=1，a=2
∴f（x）=log₂^（x+1）
（2）∵点（x，y）是y=f（x）图象上的点
∴y=f（x）=log₂^（x+1）
∵点(x3，y2)是函数y=g（x）上的点
∴y2=g（x3）吗
∴log2(x+1)2=g（x3）
用3x代x：g（x）=log2(3x+1)2
（3）∵g(kx3)-f（x）≥0
∴log₂^（kx+1）-2log₂^（x+1）≥0
∴kx+1(x+1)2≥ 1x+1＞0且kx+1＞0且k≥32
∴当32≤k≤2时   k-2≤x≤0
  当 k＞2时  0≤x≤k-2

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解析

logab=0loga(1+b)=1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=loga（x+b）（a＞.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。