已知函数f=log3图象过点A和B，设an=3f，n∈N*．求函数f的解析式及数列{an}的通项公式；（

题文

已知函数f（x）=log₃（ax+b）图象过点A（2，1）和B（5，2），设a_n=3^f（n），n∈N^*．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)≥a2n+1对一切n∈N*均成立的最大实数a；
（Ⅲ）对每一个k∈N^*，在a_k与a_k+1之间插入2^k-1个2，得到新数列：a₁，2，a₂，2，2，a₃，2，2，2，2，a₄，…，记为{b_n}，设T_n是数列{b_n}的前n项和，试问是否存在正整数m，使T_m=2008？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知，得log (2a+b)3=1log (5a+b)3=2解得：a=2b=-1．
∴f(x)=log3(2x-1)， (x＞12)…（2分）
∴an=3log3(2n-1)=2n-1．n∈N^*
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1…（4分）
（Ⅱ）由题意a≤12n+1(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)对n∈N^*均成立…（5分）
记F(n)=12n+1(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)
则F(n+1)F(n)=2n+2(2n+1)(2n+3)=2(n+1)4(n+1)2-1＞2(n+1)2(n+1)=1
∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n）
∴F（n）随着n的增大而增大…（7分）
而F（n）的最小值为F(1)=233
∴a≤233，即a的最大值为233…（8分）
（Ⅲ）∵a_n=2n-1
∴在数列{b_n}中，a_m及其前面所有项之和为[1+3+5+…+（2m-1）]+（2+2²+…+2^m-1）=m²+2^m-2…（10分）
∵10²+2¹⁰-2=1122＜2008＜11²+2¹¹-2=2167
即a₁₀＜2008＜a₁₁…（11分）
又a₁₀在数列{b_n}中的项数为：10+1+2+…+2⁸=521…（12分）
且2008-1122=886=443×2
所以存在正整数m=521+443=964，使得S_m=2008…（14分）

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解析

log (2a+b)3=1log (5a+b)3=2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log3（ax+b）图.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。