已知函数f(x)=loga1-mxx-1是奇函数．求实数m的值；判断函数f在上的单调性，并给出证明；当x∈

题文

已知函数f(x)=loga1-mxx-1（a＞0，a≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f(x)=loga1-mxx-1（a＞0，a≠1）是奇函数．
∴f（-x）+f（x）=0解得m=-1．
（2）由（1）及题设知：f(x)=logax+1x-1，
设t=x+1x-1=x-1+2x-1=1+2x-1，
∴当x₁＞x₂＞1时，t1-t2=2x1-1-2x2-1=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)
∴t₁＜t₂．
当a＞1时，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（-∞，-1），
∴①当n＜a-2≤-1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知loga1+nn-1=1a-2=-1（无解）；
②当1≤n＜a-2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a-2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知n=1logaa-1a-3=1
得a=2+3，n=1．

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解析

1-mxx-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=loga1-mxx-1.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。