解关于x的不等式：log2＞log4[a+1]．

题文

解关于x的不等式：log₂（x-1）＞log₄[a（x-2）+1]（a＞1）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

原不等式等价于log₄ （x-1）²＞log₄[a（x-2）+1]（a＞1），
∴x-1＞0a(x-2)+1＞0(x-1)2＞a(x-2)+1，即x＞1x＞2-1a(x-a)(x-2)＞0．
由于a＞1，所以1＜2-1a，所以，上述不等式等价于x＞2-1a(x-a)(x-2)＞0①，
（1）当1＜a＜2时，不等式组②等价于x＞2-1ax＞2或x＜a，此时，由于(2-1a)-a=-(a-1)2a＜0，所以 2-1a＜a，
从而可得  2-1a＜x＜a 或 x＞2．
（2）当a=2时，不等式组①等价于x＞32x≠2，所以可得 x＞32 且x≠2．
（3）当a＞2时，不等式组①等价于x＞2-1ax＜2或x＞a，此时，由于2-1a＜2，所以，2-1a＜x＜2 或x＞a．
综上可知：当1＜a＜2时，原不等式的解集为{x|2-1a＜x＜a ， 或x＞2}；
当a=2时，原不等式的解集为{x|x＞32，且x≠2}；
当a＞2时，原不等式的解集为{x|2-1a＜x＜2或x＞a}．

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解析

x-1＞0a(x-2)+1＞0(x-1)2＞a(x-2)+1

考点

据考高分专家说，试题“解关于x的不等式：log2（x-1）＞l.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。