已知函数f=log3mx2+8x+nx2+1的定义域为R，值域为[0，2]，求m．n的值．

题文

已知函数f（x）=log3mx2+8x+nx2+1的定义域为R，值域为[0，2]，求m．n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由于f（x）=log₃mx2+8x+nx2+1的定义域为R，∵x²+1＞0，故mx²+8x+n＞0恒成立．
令y=mx2+8x+nx2+1，由于函数f（x）的值域为[0，2]，则 1≤y≤9，且（y-m）•x²-8x+y-n=0 成立．
由于x∈R，可设y-m≠0，∴方程的判别式△=64-4（y-m）（y-n）≥0，即 y²-（m+n）y+mn-16≤0．
∴y=1和y=9是方程 y²-（m+n）y+mn-16=0的两个根，
∴m+n=10，mn-16=9，解得m=n=5．
若y-m=0，即y=m=n=5 时，对应的x=0，符合条件．
综上可得，m=n=5．

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解析

mx2+8x+nx2+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=log3mx2+8x+.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。