定义区间，[m，n]，的长度均为n-m，其中n＞m．若关于x的不等式2ax2-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为6，求

题文

定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．
（1）若关于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为6，求实数a的值；
（2）已知关于x的不等式sinxcosx+3cos2x+b＞0，x∈[0，π]的解集构成的各区间的长度和超过π3，求实数b的取值范围；
（3）已知关于x的不等式组7x+1＞1 log2x+log2(tx+3t)＜2的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a=0时不合题意；
a≠0时，方程2ax²-12x-3=0的两根设为x₁、x₂，
则x1+x2=6a，x1x2=-32a，
由题意知6=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=36a2+6a，
解得a=-2或a=3（舍），所以a=-2．
（2）因为sinxcosx+3cos2x+b
=12sin2x+32(1+cos2x)+b=sin(2x+π3)+32+b，
设f(x)=sin(2x+π3)，原不等式等价于“f(x)＞-32-b，x∈[0，π]”，
因为函数f（x）的最小正周期为π，[0，π]的长度恰为函数的一个正周期，
所以当-32-b＜12时，f(x)＞-32-b，x∈[0，π]的解集构成的各区间的长度和超过π3，
即b的取值范围为(-1+32，+∞)．
（3）先解不等式7x+1＞1，整理得-x+6x+1＞0，
即（x+1）（x-6）＜0
所以不等式7x+1＞1的解集A=（-1，6）
设不等式log₂x+log₂（tx+3t）＜2的解集为B，不等式组的解集为A∩B
不等式log₂x+log₂（tx+3t）＞2等价于x＞0tx+3t＞0tx2+3tx-4＜0
所以B⊆（0，+∞），A∩B⊆（0，6），不等式组的解集的各区间长度和为6，
所以不等式组tx+3t＞0tx2+3tx-4＜0，当x∈（0，6）时，恒成立
当x∈（0，6）时，不等式tx+3t＞0恒成立，得t＞0
当x∈（0，6）时，不等式tx²+3tx-4＜0恒成立，即t＜4x2+3x恒成立
当x∈（0，6）时，4x2+3x的取值范围为(227，+∞)，所以实数t≤227
综上所述，t的取值范围为(0，227]

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解析

6a

考点

据考高分专家说，试题“定义区间（m，n），[m，n]，（m，n.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。