设函数f=a2x2，g=blnx．将函数y=f图象向右平移一个单位即可得到函数y=φ的图象，试写出y=φ的解析式及

题文

设函数f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）将函数y=f（x）图象向右平移一个单位即可得到函数y=φ（x）的图象，试写出y=φ（x）的解析式及值域；
（2）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=22，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得 φ（x）=a² （x-1）² ，值域为[0，+∞）．  …（2分）
（2）不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，
等价于（1-a²） x²-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a²＜0，即 a＞1，
∴（1-a²） x²-2x+1=[（（1-a）x-1][（1+a）x-1]＞0，
所以 11-a＜x＜11+a，又因为 0＜11+a＜1，
所以 -3≤11+a＜-2，解之得  43≤a＜32．  …（6分）
（3）设F（x）=f（x）-g（x）=12 x²-elnx，则 F′（x）=x-ex=(x-e)(x+e)x．
所以当 0＜x＜e 时，F′（x）＜0；当 x＞e 时，F′（x）＞0．
因此 x=e 时，F（x） 取得最小值0，
则 f（x）与g（x）的图象在x=e 处有公共点 （e，e2）．   …（8分）
设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为 y-e2=k（x-e），即 y=kx+e2-ke，
由 f（x）≥kx+e2-ke，对x∈R恒成立，
则 x²-2kx-e+2ke≥0 在x∈R恒成立．
所以△=4k²-4（2ke-e）=4(k-e)2≤0成立，因此 k=e．…（10分）
下面证明 g（x）≤ex-e2 （x＞0）恒成立．
设G（x）=elnx-xe+e2，则 G′（x）=ex-e=e(e-x)x．
所以当  0＜x＜e 时，G′（x）＞0；当  x＞e 时，G′（x）＜0．
因此 x=e 时，G（x）取得最大值0，则 g（x）≤ex-e2 （x＞0）成立．
故所求“分界线”方程为：y=ex-e2． …（14分）

点击查看对数函数的解析式及定义（定义域、值域）知识点讲解,巩固学习

解析

11-a

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。