给定an=logn+1，定义a1•a2…ak为整数k叫做希望数，则区间[1，2009]内所有希望数的和为______．

题文

给定a_n=log_n+1（n+2）（n∈N*），定义a₁•a₂…a_k为整数k（k∈N^*）叫做希望数，则区间[1，2009]内所有希望数的和为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

根据换底公式 logaN=logbNlogba．
得a1a2…ak=lg(k+2)lg2为整数，
∴k+2=2^m，m∈Z．k=2^m_-2
 k分别可取2²-2，2³-2，2⁴-2，，最大值2^m-2≤2008，m最大可取10，
故和为2²+2³+…+2¹⁰-18=2026．
故答案为：2026．

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解析

logbNlogba

考点

据考高分专家说，试题“给定an=logn+1（n+2）（n∈N.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。