已知函数f(x)=log2x+1x-1+log2(x-1)+log2(p-x)．求函数f的定义域；．解关于x的不等式：f＞log2（2x

题文

已知函数f(x)=log2x+1x-1+log2(x-1)+log2(p-x)．
（1）求函数f （x）的定义域；．
（2）解关于x的不等式：f（x）＞log₂（2x²-2x-4）
（3）求函数f （x）的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由x+1x-1＞0x-1＞0p-x＞0⇒x＞1或x＜-1x＞1x＜p⇒x＞1x＜p
∵函数的定义域不能为空集，故p＞1，函数的定义域为（1，p）．
（2）若1＜P≤2，解集φ若P＞2，解集(2，4+p3)
（3）f(x)=log2[x+1x-1•(x-1)•(p-x)]=log2(x+1)(p-x)=log2[-x2+(p-1)x+p]
令t=-x2+(p-1)x+p=-(x-p-12)2+(p+1)24=g(x)
①当p-12＜1p＞1，即1＜p＜3时，t在（1，p）上单调减，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log₂（p-1），
函数f（x）的值域为（-∞，1+log₂（p-1））；
②当1≤p-12≤p+12p＞1即p≥3时，g(p)＜t≤g(p-12)，
即0＜t≤(p+1)24
∴f（x）≤2log₂（p+1）-2，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2）．
综上：当1＜p＜3时，函数f（x）的值域为（-∞，1+log₂（p-1））；
当p≥3时，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2）

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解析

x+1x-1＞0x-1＞0p-x＞0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=log2x+1x-1+.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。