已知函数.试判断函数F=(x2+1) f (x) – g(x)在[1，+∞)上的单调性；当0＜a＜b时，求证：函数f (x) 定义在区间[a,

题文

已知函数

解析

（1）∵F（x）=(x²+1)lnx –2

x+2．
∴F ′（x）= 2xlnx+

．
∴当x≥1时，F

′（x）≥0且仅当x =

1时F′（x）=" 0" ∴F（x）在（1，+∞）上单调递增。
（2）∵0＜a＜b,f (x)在[a,b]上的值域为[lna,lnb]
∴要证值域的长度大于

，
即证lnb –

lna＞

 
只要证ln

 
∵0＜a＜b,∴

令



 
则只要证lnx＞

 （x>1）
即证（x²+1）l

nx –(2x –2)>0  (※)
由

（1）可知F(x)在（1，+∞）上单调递增∴F（x）＞

F（1）

=" 0" 所以（※）式成立．
∴f (x)在[a, b]上的值域的长度大于

．……9分
（3）∵f (x) =

 

xlnx=

 
令h (x) = xlnx(x>0)．则h ′（x）=lnx+1，
易知，

在

上单调递减，在

上单调递增
当

时，


令



，则


易知，

在

上单调递增，在

上单调递减
当

时，


∵

∴方程f(x)=

不存在实数根

考点

据考高分专家说，试题“已知函数.（1）试判断函数F（x）=(x.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。