已知函数f＝log2，且f、f、f成等差数列．求实数m的值；若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列

题文

已知函数f（x）＝log₂（x＋m），且f（0）、f（2）、f（6）成等差数列．
（1）求实数m的值；
（2）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f（a）＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）m＝2．（2）f（a）＋f(c)＞2(b)．

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解析

（1）由f（0）、f（2）、f（6）成等差数列，
可得2log₂（2＋m）＝log₂m＋log₂（6＋m），  3分
即（m＋2）²＝m（m＋6），且m＞0，解得m＝2．   5分
（2）由f（x）＝log₂（x＋2），
可得2f(b)＝2log₂（b＋2）＝log₂（b＋2）²，    6分
f（a）＋f(c)＝log₂（a＋2）＋log₂（c＋2）＝log₂［（a＋2）（c＋2）］， 7分
∵a、b、c成等比数列，∴b²＝ac． 8分
又a、b、c是两两不相等的正数，
故（a＋2）（c＋2）－（b＋2）²
＝ac＋2（a＋c）＋4－（b²＋4b＋4）   10分
＝2（a＋c－2

）＝2

＞0，    12分
∴log₂［（a＋2）（c＋2）］＞log₂（b＋2）²． 13分
即f（a）＋f(c)＞2(b)
点评：对于此类问题除了要求学生掌握等差（等比）数列的性质之外，还有灵活运用作差法判断大小

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）＝log2（x＋m），且.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。