已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．(1)求k的值；(2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围

题文

已知函数f(x)＝log₄(4^x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝log₄(a·2^x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

解析

解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即log₄(4^－x＋1)－kx＝log₄(4^x＋1)＋kx，
即(2k＋1)x＝0，∴k＝－

.
(2)依题意令log₄(4^x＋1)－

x＝log₄ (a·2^x－a)，
即


令t＝2^x，则(1－a)t²＋at＋1＝0，只需其有一正根即可满足题意．
①当a＝1时，t＝－1，不合题意，舍去．
②上式有一正一负根t₁，t₂，
即


经验证满足a·2^x－a>0，∴a>1.
③上式有两根相等，即Δ＝0⇒a＝±2

－2，此时t＝

，若a＝2(

－1)，则有t＝

<0，此时方程(1－a)t²＋at＋1＝0无正根，故a＝2(

－1)舍去；
若a＝－2(

＋1)，则有t＝

>0，且a· 2^x－a＝a(t－1)＝a

＝

>0，因此a＝－2(

＋1)．
综上所述，a的取值范围为{a|a>1或a＝－2－2

}．

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。