已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求

题文

已知函数f(x)＝log₄(4^x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)设g(x)＝log₄

解析

(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，
∴log₄(4^x＋1)＋kx＝log₄(4^－x＋1)－kx.
log₄

＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝－

.
(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log₄(4^x＋1)－

x＝log₄

有且只有一个实根，化简得方程2^x＋

＝a·2^x－

a有且只有一个实根．令t＝2^x>0，则方程(a－1)t²－

at－1＝0有且只有一个正根．
①a＝1t＝－

，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a＝

或－3.若a＝

t＝－2，不合题意，若a＝－3t＝

；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即

<0a>1.
综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋.....”主要考查你对 [对数函数的解析式及定义（定义域、值域） ]考点的理解。 对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

对数函数的定义：

一般地，我们把函数y=log_ax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。

对数函数的解析式：

y=log_ax（a＞0，且a≠1）

在解有关对数函数的解析式时注意：

在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。