求证:方程x=asinx+b(a＞0,b＞0)至少有一个正根，且它不大于a+b.

题文

求证:方程x=asinx+b(a＞0,b＞0)至少有一个正根，且它不大于a+b. 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明略

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解析

设f(x)=asinx+b－x,
则f(0)=b＞0,f(a+b)=a·sin(a+b)+b－(a+b)=a［sin(a+b)－1］≤0,
又f(x)在(0,a+b］内是连续函数，所以存在一个x₀∈(0,a+b］，使f(x₀)=0,即x₀是方程f(x)=0的根，也就是方程x=a·sinx+b的根。
因此，方程x=asinx+b至少存在一个正根，且它不大于a+b。 

考点

据考高分专家说，试题“求证:方程x=asinx+b(a＞0,b.....”主要考查你对 [函数的连续性 ]考点的理解。 函数的连续性

函数的连续性定义：

（1）如果函数y=f（x）在点x=x₀处及其附近有定义，并且满足

，则称函数y=f（x）在点x=x₀处连续；否则称y=f（x）在点x=x₀处不连续，或间断点。
（2）如果函数f（x）在某一开区间（a，b）内每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b）内连续，对于闭区间[a，b]上的函数f（x），如果在开区间（a，b）内连续，在左端点x=a处有

，在右端点x=b处有

，就说函数f（x）在闭区间[a，b]上连续。
3、如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么在闭区间[a，b]上f（x）一定有最大值和最小值。

函数的连续性的特点：

（1）f（x）在x₀处有定义；
（2）f（x）在x₀处的极限存在；
（3）f（x）在点x₀处的极限等于函数值。
三大特点，缺一不可。

常用结论：

如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么在闭区间[a，b]上f（x）一定有最大值和最小值。