已知函数f(x)=(1)讨论f(x)在点x=－1,0,1处的连续性；(2)求f(x)的连续区间。

题文

已知函数f(x)=

解析

(1)

f(x)=3,

f(x)=－1,所以

f(x)不存在，
所以f(x)在x=－1处不连续，
但

f(x)=f(－1)=－1,

f(x)≠f(－1),
所以f(x)在x=－1处右连续，左不连续,


f(x)=3=f(1),

f(x)不存在，所以

f(x)不存在，
所以f(x)在x=1不连续，但左连续，右不连续。
又

f(x)=f(0)=0,所以f(x)在x=0处连续。
(2)f(x)中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f(x)除不连续点x=±1外，再也无不连续点，
所以f(x)的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5

。

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=(1)讨论f(x)在点.....”主要考查你对 [函数的连续性 ]考点的理解。 函数的连续性

函数的连续性定义：

（1）如果函数y=f（x）在点x=x₀处及其附近有定义，并且满足

，则称函数y=f（x）在点x=x₀处连续；否则称y=f（x）在点x=x₀处不连续，或间断点。
（2）如果函数f（x）在某一开区间（a，b）内每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b）内连续，对于闭区间[a，b]上的函数f（x），如果在开区间（a，b）内连续，在左端点x=a处有

，在右端点x=b处有

，就说函数f（x）在闭区间[a，b]上连续。
3、如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么在闭区间[a，b]上f（x）一定有最大值和最小值。

函数的连续性的特点：

（1）f（x）在x₀处有定义；
（2）f（x）在x₀处的极限存在；
（3）f（x）在点x₀处的极限等于函数值。
三大特点，缺一不可。

常用结论：

如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么在闭区间[a，b]上f（x）一定有最大值和最小值。