设f是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1，x2∈[0，]，都有f=f·f，且f(1)=a＞

题文

设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x₁，x₂∈[0，

]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）·f（x₂），且f(1)=a＞0，
(Ⅰ)求

；
(Ⅱ)证明f（x）是周期函数；
(Ⅲ)记a_n=f（2n+

），求

。 题型：未知 难度：其他题型

答案

(Ⅰ)解：因为对x₁，x₂∈［0，

］，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）·f（x₂），
所以

，



f（1）=a＞0， 
∴

；
(Ⅱ)证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，
故f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），x∈R，
又由f（x）是偶函数知f（-x）=f（x），x∈R，
∴f（-x）=f（2-x），x∈R，
将上式中-x以x代换，得f（x）=f（x+2），x∈R，
这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期；
(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知f（x）≥0，x∈［0，1］，
∵




，


，
∴

，
∵f（x）的一个周期是2，
∴f（2n+

）=f（

），因此a_n=

，
∴

。

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解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）是定义在R上的偶函.....”主要考查你对 [函数的极限及四则运算 ]考点的理解。 函数的极限及四则运算

函数极限的定义：

（1）当自变量n取正值并且无限增大时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f（x）的极限是a，
记作

或当x→+∞是，f（x）→a；
（2）当自变量n取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f（x）的极限是a，记作

或当x→-∞是，f（x）→a；
若

，称x→∞时，f（x）的极限是a，

。

函数的左极限：

当x从x=x₀点的左侧（即x＜x₀）无限地接近于x₀时，f（x）无限趋近于一个常数a，则称a是f（x）在点x₀ 处的左极限，记作

；

函数的右极限：

当x从x=x₀点的右侧（即x＞x₀）无限地接近于x₀时，f（x）无限趋近于一个常数a，则称a是f（x）在点x₀处的右极限，记作

。

f（x）在点x₀处的极限：

当x无限地接近于x₀（可由任何方向接近）时，f（x）无限趋近于一个常数a，则称a是f（x）在点x₀处的极限，

。

函数极限的运算法则：

若f（x）=C（C为常数），则

；
若

，则

；


。