已知点(2，2)在幂函数f的图象上，点(-2，14)在幂函数g的图象上．求函数f，g的解析式；判断函数g的单调性并用定

题文

已知点(2  ，2  )在幂函数f（x）的图象上，点(-2 ，  14)在幂函数g（x）的图象上．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）判断函数g（x）的单调性并用定义证明；
（3）问x为何值时有f（x）≤g（x）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题易得f（x）=x² ，g（x）=x^-2
（2）g（x）在（0，+∞）上为减函数，在（-∞，0）上为增函数
证明：任取x₁＜x₂＜0，有g(x1)-g(x2)=(x1+x2)(x2-x1)x21x22
∵x₁+x₂＜0，x₂-x₁＞0，x₁²x₂²＞0
∴g（x₁）-g（x₂）＜0
∴g（x）在（0，+∞）上为增函数．
任取0＜x₁＜x₂，有g(x1)-g(x2)=(x2+x1)(x2-x1)x21
∵x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，x₁²x₂²＞0
∴g（x₁）＞g（x₂）
∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）当x＞1或x＜1时，f（x）≤g（x），证明如下
由（1），两函数都是偶函数，先研究x＞0时满足f（x）≤g（x）的x的取值范围．
令x² =x^-2，解得x=1，又f（x）=x² 在（0，+∞）上是增函数，g（x）=x^-2在（0，+∞）上是减函数，故可得f（x）≤g（x）的x的取值范围是x≤1
由两函数的解析式知，此两函数都是偶函数，故当x＜0时，f（x）≤g（x）的x的取值范围是x≥-1
综上当-1≤x≤1时，f（x）≤g（x）

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解析

(x1+x2)(x2-x1)x21x22

考点

据考高分专家说，试题“已知点(2，2)在幂函数f（x）的图象上.....”主要考查你对 [幂函数 ]考点的理解。 幂函数

冥函数的定义：

一般地，函数y=x^α叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。

幂函数的解析式：

y=x^α

幂函数的图像：

 

 

 幂函数图像的性质：

所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．
①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增； 
②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;
③当Ol时，曲线下凸．
④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．
⑤当a=0时，

表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。

幂函数图象的其他性质：

(1)图象的对称性：
把幂函数

的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数

的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，
 (2)图象的形状：
 ①若a>0，则幂函数

的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O ②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。

幂函数的单调性和奇偶性：
对于幂函数

（a∈R)．
(1)单调性
当a>0时，函数

在第一象限内是增函数；当a<0时，函数

在第一象限内是减函数．
(2)奇偶性
①当a为整数时，
若a为偶数，则

是偶函数；若a为奇数，则

是奇函数。
②当n为分数，即

（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，

为奇函数；分子p为偶数时，

为偶函数， 若分母q为偶数，则

为非奇非偶函数．