已知幂函数f=x3-2m在区间上单调递减．求函数f的解析式；若函数y=x2+x+3是偶函数，且函数

题文

已知幂函数f（x）=（m²-m-1）x^3-2m在区间（0，+∞）上单调递减．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=x²+（a-2）x+3是偶函数，且函数g(x)=1f2(x)-abf(x)+5的定义域和值域均是[1，b]，求实数a、b的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵幂函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴m2-m-1=13-2m＜0，∴m=2或m=-1m＞32，∴m=2，∴f（x）=x^-1；
（2）∵y=x²+（a-2）x+3是偶函数，∴a-2=0，即a=2，又∵f（x）=x^-1，
∴g(x)=1f2(x)-abf(x)+5=x²-2bx+5=（x-b）²+5-b²，又∵b＞1，
∴g（x）在[1，b]上是减函数，
∴g(1)=bg(b)=1，即1-2b+5=bb2-2b2+5=1，解得b=2，
综上知，a=b=2．

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解析

m2-m-1=13-2m＜0

考点

据考高分专家说，试题“已知幂函数f（x）=（m2-m-1）x3.....”主要考查你对 [幂函数 ]考点的理解。 幂函数

冥函数的定义：

一般地，函数y=x^α叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。

幂函数的解析式：

y=x^α

幂函数的图像：

 

 

 幂函数图像的性质：

所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．
①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增； 
②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;
③当Ol时，曲线下凸．
④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．
⑤当a=0时，

表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。

幂函数图象的其他性质：

(1)图象的对称性：
把幂函数

的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数

的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，
 (2)图象的形状：
 ①若a>0，则幂函数

的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O ②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。

幂函数的单调性和奇偶性：
对于幂函数

（a∈R)．
(1)单调性
当a>0时，函数

在第一象限内是增函数；当a<0时，函数

在第一象限内是减函数．
(2)奇偶性
①当a为整数时，
若a为偶数，则

是偶函数；若a为奇数，则

是奇函数。
②当n为分数，即

（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，

为奇函数；分子p为偶数时，

为偶函数， 若分母q为偶数，则

为非奇非偶函数．