已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3，m为何值时，f(x)是:幂函数；幂函数，且是(0,+∞)上的增函数；正比例函数；反比例函

题文

已知函数f(x)=(m²-m-1)x^-5m-3，m为何值时，f(x)是:（1）幂函数；（2）幂函数，且是(0,+∞)上的增函数；（3）正比例函数；（4）反比例函数；（5）二次函数. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）m=2或m=-1.（2）m=-1.（3）m=-

解析

（1）因f（x）是幂函数，故m²-m-1=1，即m²-m-2=0,
解得m=2或m=-1.
（2）若f（x）是幂函数且又是（0，+∞）上的增函数，
则

∴m=-1.
（3）若f(x)是正比例函数，则-5m-3=1,解得m=-

,
此时m²-m-1≠0,故m=-

.
（4）若f(x)是反比例函数，则-5m-3=-1,
则m=-

,此时m²-m-1≠0,故m=-

.
（5）若f(x)是二次函数，则-5m-3=2,即m=-1,此时m²-m-1≠0，故m=-1.
综上所述，当m=2或m=-1时，f(x)是幂函数;当m=-1时，f(x)既是幂函数，又是(0,+∞)上的增函数;
当m=-

时，f(x)是正比例函数;当m=-

时，f（x）是反比例函数;
当m=-1时，f（x）是二次函数.

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5.....”主要考查你对 [幂函数 ]考点的理解。 幂函数

冥函数的定义：

一般地，函数y=x^α叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。

幂函数的解析式：

y=x^α

幂函数的图像：

 

 

 幂函数图像的性质：

所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．
①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增； 
②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;
③当Ol时，曲线下凸．
④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．
⑤当a=0时，

表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。

幂函数图象的其他性质：

(1)图象的对称性：
把幂函数

的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数

的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，
 (2)图象的形状：
 ①若a>0，则幂函数

的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O ②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。

幂函数的单调性和奇偶性：
对于幂函数

（a∈R)．
(1)单调性
当a>0时，函数

在第一象限内是增函数；当a<0时，函数

在第一象限内是减函数．
(2)奇偶性
①当a为整数时，
若a为偶数，则

是偶函数；若a为奇数，则

是奇函数。
②当n为分数，即

（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，

为奇函数；分子p为偶数时，

为偶函数， 若分母q为偶数，则

为非奇非偶函数．