已知函数f(x)＝xm－且f(4)＝.(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．

题文

已知函数f(x)＝x^m－

解析

解：(1)∵f(4)＝

，∴4^m－

＝

，
∴m＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x－

，
∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
关于原点对称．
又f(－x)＝－x＋

＝－(x－

)＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
(3)函数f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，证明如下：设x₁>x₂>0，
则f(x₁)－f(x₂)＝x₁－

－(x₂－

)＝(x₁－x₂)(1＋

)，
因为x₁>x₂>0，
所以x₁－x₂>0,1＋

>0.
所以f(x₁)>f(x₂)．
所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)＝xm－且f(4)＝.(.....”主要考查你对 [幂函数 ]考点的理解。 幂函数

冥函数的定义：

一般地，函数y=x^α叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。

幂函数的解析式：

y=x^α

幂函数的图像：

 

 

 幂函数图像的性质：

所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．
①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增； 
②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;
③当Ol时，曲线下凸．
④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．
⑤当a=0时，

表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。

幂函数图象的其他性质：

(1)图象的对称性：
把幂函数

的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数

的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，
 (2)图象的形状：
 ①若a>0，则幂函数

的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O ②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。

幂函数的单调性和奇偶性：
对于幂函数

（a∈R)．
(1)单调性
当a>0时，函数

在第一象限内是增函数；当a<0时，函数

在第一象限内是减函数．
(2)奇偶性
①当a为整数时，
若a为偶数，则

是偶函数；若a为奇数，则

是奇函数。
②当n为分数，即

（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，

为奇函数；分子p为偶数时，

为偶函数， 若分母q为偶数，则

为非奇非偶函数．