对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2

题文

对于函数f(x)若存在x₀∈R，f(x₀)＝x₀成立，则称x₀为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋

解析

解：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x²－x－3，
f(x)＝x⇒x²－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，
∴函数f(x)的不动点为－1和3.
(2)即f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，转化为ax²＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，需有判别式大于0恒成立，即Δ＝b²－4a(b－1)>0⇒Δ₁＝(－4a)²－4×4a<0⇒0∴a的取值范围为(0,1)．
(3)设A(x₁，x₁)，B(x₂，x₂)，则x₁＋x₂＝－

，
则A，B中点M的坐标为(

，

)，即M(－

，－

)．
∵A，B两点关于直线y＝kx＋

对称，
且A，B在直线y＝x上，
∴k＝－1，A，B的中点M在直线y＝kx＋

上．
∴－

＝

＋

⇒b＝－

＝－

，
利用基本不等式可得当且仅当a＝

时，b的最小值为－

.

考点

据考高分专家说，试题“对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x0.....”主要考查你对 [幂函数 ]考点的理解。 幂函数

冥函数的定义：

一般地，函数y=x^α叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。

幂函数的解析式：

y=x^α

幂函数的图像：

 

 

 幂函数图像的性质：

所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．
①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增； 
②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;
③当Ol时，曲线下凸．
④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．
⑤当a=0时，

表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。

幂函数图象的其他性质：

(1)图象的对称性：
把幂函数

的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数

的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，
 (2)图象的形状：
 ①若a>0，则幂函数

的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O ②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。

幂函数的单调性和奇偶性：
对于幂函数

（a∈R)．
(1)单调性
当a>0时，函数

在第一象限内是增函数；当a<0时，函数

在第一象限内是减函数．
(2)奇偶性
①当a为整数时，
若a为偶数，则

是偶函数；若a为奇数，则

是奇函数。
②当n为分数，即

（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，

为奇函数；分子p为偶数时，

为偶函数， 若分母q为偶数，则

为非奇非偶函数．