海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则救援船恰在失事船的正南方向12海里A

题文

海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图．现假设：
①失事船的移动路径可视为抛物线y=1249x2；
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t．
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）t=0.5时，P的横坐标x_P=7t=72，代入抛物线方程y=1249x2中，得P的纵坐标y_P=3．
由|AP|=9492，得救援船速度的大小为949海里/时．
由tan∠OAP=730，得∠OAP=arctan730，故救援船速度的方向为北偏东arctan730弧度；
（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t²）．
由vt=(7t)2+(12t2+12)2，整理得v2=144（t2+1t2）+337
因为t2+1t2≥2，当且仅当t=1时等号成立，所以v²≥144×2+337=25²，即v≥25．
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．

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解析

72

考点

据考高分专家说，试题“海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.