用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器，设容器的高为h米，盖子边长为a米．求a关于h的函数解析式；设容器的容积为

题文

用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米．
（1）求a关于h的函数解析式；
（2）设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．
（求解本题时，不计容器的厚度）

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设h'为正四棱锥的斜高
由已知a2+4?12h′a=2h2+14a2=h′2
解得a=1h2+1(h＞0)
（2）V=13ha2=h3(h2+1)(h＞0)
易得V=13(h+1h)
因为h+1h≥2h?1h=2，所以V≤16
等式当且仅当h=1h，即h=1时取得．
故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为16立方米．

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解析

a2+4?12h′a=2h2+14a2=h′2

考点

据考高分专家说，试题“用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.