甲同学从一个半径为r的半圆形铁板中截取一块矩形ABCD，记其最大面积为S甲，乙同学从一个半径为R的圆形铁板中截取一块矩形EFGH，记其最大面积为S乙，试问r和R

题文

甲同学从一个半径为r的半圆形铁板中截取一块矩形ABCD，记其最大面积为S_甲，乙同学从一个半径为R的圆形铁板中截取一块矩形EFGH，记其最大面积为S_乙，试问r和R满足什么关系时，S_甲=S_乙？说明理由．



题型：未知 难度：其他题型

答案

如图所示，S_ABCD=r²sin2α，α∈(0，π2)…（3分）
当α=π4时，S_甲=r²…（1分） 
S_EFGH=2R²sin2β   β∈(0，π2)…（3分）
当β=π4时，S_乙=2R²…（1分）
所以，r和R满足r²=2R²时，S_甲=S_乙…（1分）
即当r和R满足r²=2R²时，S_甲=S_乙．

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解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“甲同学从一个半径为r的半圆形铁板中截取一.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.