如图，在边长为1m的正方形铁皮的四角切去边长为x的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱，容积为V，并规定：铁皮箱的高度x与底面正方形的边长的

题文

如图，在边长为1m的正方形铁皮的四角切去边长为x的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱，容积为V，并规定：铁皮箱的高度x与底面正方形的边长的比值不超过正常数c，求V的最大值，并写出相应的x的值．

题型：未知 难度：其他题型

答案

长方体的底面正方形的边长为1-2x，高为x，所以，容积V=4（x-12）²x，
铁皮箱的高度x与底面正方形的边长1-2x的比值x1-2x≤c，得 0＜x≤c1+2c，
由均值不等式知V=2（12-x）（12-x）（2x）≥227，
当12-x=2x，即x=16时等号成立．
①当16≤c1+2c，即 c≥14，V_max=227；
②当16≤c1+2c，即 0＜c＜14时，V'（x）=12（x-13） ²-13，
则V′（x）在（0，16）上单调递减，
∴V'（x）≥V'（c1+2c）＞V'（16）=0，
∴V（x）在（0，c1+2c]单调递增，
∴V_max=V（c1+2c）=c(1+2c)3
总之，0＜c＜14时，则当x=时c1+2c，V_max=V（c1+2c）=c(1+2c)3；
若 c≥14，V_max=227．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“如图，在边长为1m的正方形铁皮的四角切去.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.