要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，在窗框总长度为l的条件下，请写出窗户的面积S与圆的直径x的函数关系；要使窗户透光面积最大，窗

题文

要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户（如图所示），在窗框总长度为l的条件下，
（1）请写出窗户的面积S与圆的直径x的函数关系；
（2）要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？并写出最大值．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设半圆的直径为x，矩形的高度为y，
窗户透光面积为S，
则窗框总长l=πx2+x+2y
∴y=2l-(2+π)x4
S=π8x2 +xy=π8x2+2l-(2+π)x4•x
∴S=-4+π8x²+l2x  （0＜x＜2lπ+2）
（2）S=-4+π8（x-2l4+π）²+l22(4+π)
当x=2l4+π时，S_max=l22(4+π)
此时，y=l4+π=x2…7分
答：窗户中的矩形高为l4+π，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．

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解析

πx2

考点

据考高分专家说，试题“要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.