把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k（k

题文

把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k（k＞0），
（1）用x和k表示出长方体的体积的表达式V=V（x），并给出函数的定义域；
（2）问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设长方体高为xcm，则底面边长为（60-2x）cm，（0＜x＜30），
所以长方体容积V=V（x）=x（60-2x）²=4x（x-30）²；…（4分）
∵x60-2x≤k，∴0＜x≤60k2k+1．
即函数定义域为(0，60k2k+1]，…（6分）
（2）V′（x）=4（x-30）²+8x（x-30）=4（x-30）（3x-30）=12（x-30）（x-10）
令V′（x）=0，解得x=10，x=30（不合题意舍去）于是     …（8分）
x（0，10）10（10，30）V'（x）+0-V（x）↑↓①当10≤60k2k+1，即k≥14时，在x=10时，V取得最大值为V_max=40•20²=16000；                  …（10分）
②当602k+1＜10，即0＜k＜14时，在x=60k2k+1时，V取得最大值Vmax=216000k(2k+1)3．…（12分）

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解析

x60-2x

考点

据考高分专家说，试题“把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.