集合A是由适合以下性质的函数f构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x1，x2，都有12[f(x1)+f(x2)]＞f(x1+x22)．试判断f（

题文

集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有12[f(x1)+f(x2)]＞f(x1+x22)．
（1）试判断f（x）=x²及g（x）=log₂x是否在集合A中，并说明理由；
（2）设f（x）∈A且定义域为（0，+∞），值域为（0，1），f(1)＞12，试求出一个满足以上条件的函数f （x）的解析式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）∈A，g（x）∉A．（2分）
对于f（x）∈A的证明．任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，f(x1)+f(x2)2-f(x1+x22)=x12+x222-(x1+x22)2=x12-2x1x2+x224
=14(x1-x2)2＞0
即f(x1)+f(x2)2＞f(x1+x22)．∴f（x）∈A（3分）
对于g（x）∉A，举反例：当x₁=1，x₂=2时，
g(x1)+g(x2)2=12(log21+log22)=12，
g(x1+x22)=log21+22=log232＞log22=12，
不满足g(x1)+g(x2)2＞g(x1+x22)．∴g（x）∉A．（4分）
（2）函数f(x)=(23)x，当x∈（0，+∞）时，
值域为（0，1）且f(1)=23＞12．（6分）
任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，
则f(x1)+f(x2)2-f(x1+x22)=12[(23)x1+(23)x2-2•(23)x1+x22]
=12{[(23)x12]2-2•(23)x12•(23)x22+[(23)x22]2}=12[(23)x12-(23)x22]2＞0
即f(x1)+f(x2)2＞f(x1+x22)．
∴f(x)=(23)x∈A．是一个符合条件的函数．（8分）

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解析

f(x1)+f(x2)2

考点

据考高分专家说，试题“集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.