某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积．

题文

某房地产公司要在荒地ABCDE（如图所示）上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积（尺寸单位：m）．

题型：未知 难度：其他题型

答案

如图所示，设计长方形公寓分三种情况：



①当一端点在BC上时，只有在B点时长方形BCDB₁面积最大，
∴S₁=SBCDB₁=5600m²．
②当一端点在EA边上时，只有在A点时长方形AA₁DE的面积最大，
∴S₂=SAA₁DE=6 000m²．
③当一端点在AB边上时，设该点为M，则可构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE．
设MQ=x（0≤x≤20），∴MP=PQ-MQ=80-x．
又OA=20，OB=30，则OAOB=MQQB，
∴23=xQB，∴QB=32x，
∴MN=QC=QB+BC=32x+70，
∴S₃=S_MNDP=MN•MP=（70+32x）•（80-x）
=-32（x-503）²+180503，
当x=503时，S₃=180503．比较S₁，S₂，S₃，得S₃最大，
此时MQ=503m，BM=25133m，
故当长方形一端点落在AB边上离B点25133m处时公寓占地面积最大，最大面积为180503m²．

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解析

OAOB

考点

据考高分专家说，试题“某房地产公司要在荒地ABCDE（如图所示.....”主要考查你对 [指数函数模型的应用 ]考点的理解。 指数函数模型的应用 指数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·b^x+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。

指数型复合函数的性质的应用:

(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：


；②

.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．
(2)对于形如

一类的指数型复合函数，有以下结论：
①函数

的定义域与f(x)的定义域相同；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数

的值域；
③当a>l时，函数

与函数f(x)的单调性相同；当O与函数f(x)的单调性相反.